עצה 1: איך למצוא את החציון של משולש משקפיים

The new American Dream | Courtney Martin (אַפּרִיל 2019).

Anonim

משולש נקרא משקפיים אם יש לו שני צדדים שווים. הם נקראים לרוחב. הצד השלישי נקרא בסיס של משולש משקפיים. כזה משולש יש מספר מאפיינים ספציפיים. החציונים הנמשכים לצדדים שווים. כך, במשולש איסכאלאס יש שני מדיונים שונים, אחד נמשך אל בסיס המשולש, השני לצד.

הדרכה

1

תן משולש ABC יינתן הוא isosceles. אורכי הצד והבסיס ידועים. יש צורך למצוא את חציון ירד לבסיס המשולש הזה. ב משולש isosceles, חציון זה הוא באותו זמן חציון, bisector וגובה. הודות למאפיין זה, קל מאוד למצוא את החציון לבסיס המשולש. השתמש משפט Pythagorean עבור המשולש הנכון ABD: AB² = BD² + AD², כאשר BD הוא החציון הרצוי, AB הוא הצד (לנוחות, תן לזה להיות), ו- AD הוא חצי הבסיס (לנוחות, לקחת את הבסיס שווה ב). אז BD² = a² - b² / 4. מצא את השורש של ביטוי זה ולקבל את אורך החציון.

2

קצת יותר מסובך הוא המצב עם חציון נמשך לצד. ראשית, לצייר חציונים כאלה בדמות. החציונים האלה שווים. סמן את הצד עם האות א, ואת הבסיס - b. סמן זוויות שוות בבסיס α. כל חציון מחלק את הצד לשני חלקים שווים a / 2. קבע את אורך החציון הרצוי x.

3

לפי משפט הקוסינוס, אפשר לבטא כל צד של המשולש דרך שני האחרים ואת הקוסינוס של הזווית ביניהם. אנו כותבים את משפט הקוסינוס עבור המשולש AEC: AE² = AC² + CE² - 2AC · CE · cos∠ACE. או, באופן שווה, (3x) ² = (a / 2) ² + b² - 2 · ab / 2 · cosα = a² / 4 + b² - ab · cosα. לפי תנאי הבעיה, הצדדים ידועים, אבל הזווית בבסיס אינה, ולכן החישובים נמשכים.

4

עכשיו ליישם את הקוסינוס משפט משולש ABC למצוא את הזווית בבסיס: AB² = AC² + BC² - 2AC · BC · cos∠ACB. במילים אחרות, a² = a² + b² - 2ab · cosα. אז cosα = b / (2a). תחליף ביטוי זה בקודמו הקודם: x² = a² / 4 + b² - ab · cosα = a² / 4 + b² - ab · b / (2a) = a² / 4 + b² - b² / 2 = (a² + 2b² / 4). על ידי חישוב השורש של הצד הימני של הביטוי, תוכלו למצוא את החציון נמשך לצד.

  • משולשים דו צדדיים ומשוליים
  • חציונים, bisectors ו משולש גבהים

עצה 2: איך למצוא את החציון

החציון של המשולש הוא קטע המחבר בין אחד הקודקודים של המשולש עם באמצע של הצד הנגדי. זה נובע מן ההגדרה כי כל משולש יש שלושה חציונים.

יהיה עליך

  • הידע של אורכי הצדדים של המשולש.

הדרכה

1

כדי לחשב את אורך החציון, נעשה שימוש בנוסחה (ראה איור 1), כאשר:
mc הוא אורך חציון;
a, b, c - הצדדים של המשולש.

שים לב

לחציוני המשולש יש מאפיינים:
1) כל אחד משלושת החציונים מחלק את המשולש המקורי לשני משולש שטח שווה;
2) כל חציון של משולש יש נקודה אחת של צומת. נקודה זו נקראת מרכז המשולש;
3) חציונים של משולש לחלק אותו 6 משולשים שווים. שווה גודל הן דמויות גיאומטריות עם אזורים שווים.

עצה טובה

אם המשולש הוא שווה צלעות, אז החציונים שלו שווים. בנוסף, במשולש כזה החציונים חופפים עם bisectors ואת הגבהים.
A bisectrix הוא קרן הנובעת מכל קודקוד של המשולש ומחלק את הזווית שנוצרה על ידי אותו במחצית.
בשיא המשולש הכוונה לפלח שנמשך משולי המשולש בניצב לצד הנגדי.

עצה 3: איך למצוא את הצד של משולש isosceles

שיווי המשקל נקרא משולש, שבו 2 הצדדים שווים. זה נובע מן ההגדרה כי משולש רגיל הוא גם שוהים, אבל הפוך הוא לא נכון. ישנן מספר דרכים לחשב את הצדדים של משולש isosceles.

יהיה עליך

  • אם אפשר, לדעת את זוויות המשולש לפחות אחד הצדדים שלה.

הדרכה

1

שיטה 1. יוצא משפט המשולש סינוס. משפט הסינוס אומר: צדי המשולש הם פרופורציונליים לסיני הזוויות המנוגדות (איור 1)
המשוואה הבאה באה מנוסחה זו: a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ

2

שיטה 2. יוצא משפט הקוסינוס של משולש. על פי משפט זה, עבור כל משולש המשולש עם הצדדים a, b, c ו זווית α, הנמצא מול הצד, השוויון באיור. 2
מכאן יש תוצאה: a = b / 2cosα;
גם מן הקוסינוס משפט יש עוד תוצאה אחת:
b = 2a * חטא (β / 2)

  • לחשב את הצדדים של המשולש

עצה 4: כיצד למצוא את החציון של משולש

החציון של המשולש הוא קטע המחבר כל קודקוד של המשולש עם באמצע של הצד הנגדי. שלושה חציונים מצטלבים בנקודה אחת תמיד בתוך משולש . נקודה זו מחלקת כל חציון ביחס של 2: 1.

הדרכה

1

החציון ניתן למצוא באמצעות משפט סטיוארט. לפיו, הריבוע החציוני שווה לרבע מסכום הריבועים הכפולים של הצדדים, פחות את ריבוע הצד שאליו חציון נמשך.
mc ^ 2 = (2a ^ 2 + 2b ^ 2 - c ^ 2) / 4,
איפה
a, b, c - הצדדים של המשולש .
mc הוא חציון לצד;

2

המשימה של מציאת חציון ניתן לפתור באמצעות מבנים נוספים של משולש כדי מקבילית פתרון באמצעות משפט על אלכסונים מקבילית.להרחיב את הצדדים של המשולש ואת חציון על ידי השלמת אותם מקבילית. לכן, החציון של המשולש יהיה שווה למחצית האלכסון של המקבילה המקבילית, שני צדי המשולש לצידיו (a, b), והצד השלישי של המשולש שאליו נמשך החציון הוא האלכסון השני של המקבילית המתקבלת. לפי המשפט, סכום ריבועי האלכסון של מקבילית שווה פי שניים לסכום ריבועי צדיו.
2 * (a ^ 2 + b ^ 2) = d1 ^ 2 + d2 ^ 2,
איפה
d1, d2 - אלכסוני של מקבילית שהתקבל;
מ:
d1 = 0.5 * v (2 * (a ^ 2 + b ^ 2) - d2 ^ 2)

עצה 5: כיצד למצוא את החציון של משולש ימין

הגדרת החציון של המשולש הימני היא אחת הבעיות הבסיסיות בגיאומטריה. לעתים קרובות, הממצא שלה פועל כאלמנט עזר בפתרון בעיה מורכבת יותר. בהתאם לנתונים הזמינים, ניתן לפתור את המשימה בכמה דרכים.

יהיה עליך

  • ספר על הגיאומטריה.

הדרכה

1

כדאי לזכור כי משולש מלבני אם אחד וזוויות שלו הם 90 מעלות. והחציון הוא קטע שנפל מזווית המשולש אל הצד הנגדי. והוא מחלק אותו לשני חלקים שווים. ב משולש זווית ישרה ABC, אשר זווית ABC צודק, חציון BD, בגיל ההתבגרות מן הקודקוד של הזווית הנכונה, הוא חצי hypotenuse AC. כלומר, כדי למצוא את החציון, לחלק את הערך של hypotenuse לשניים: BD = AC / 2. דוגמה: תן את ערכי הרגליים AB = 3 ס"מ, BC = 4 ס"מ להיות ידוע המשולש הנכון ABC (ABC- זווית ישרה)., למצוא את אורך חציון BD, ירד מלמעלה של הזווית הנכונה. פתרון:
1) מצא את הערך של hypotenuse. לפי משפט פיתגורס, AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2. לכן (= 3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 0.5 = 25 = 0.5 = 5 ס"מ
2) מצא את אורך החציון על ידי הנוסחה: BD = AC / 2. לאחר מכן BD = 5 ס"מ.

2

מצב אחר לגמרי מתעורר כאשר מציאת החציון, מוריד לרגליו של משולש ימין. תנו את המשולש ABC, זווית B להיות ישר, AE ו CF להיות חציונים הורידו על הרגליים המתאימות BC ו- AB. כאן אורך של מקטעים אלה נמצא על ידי נוסחאות: AE = (2 (AB ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0.5 / 2
CF = 2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0.5 / 2 דוגמה: עבור המשולש ABC, הזווית ABC צודקת. אורך הרגל AB = 8 ס"מ, זווית BCA = 30 מעלות. מצא את אורכי החציון, מושמט מזוויות חריפות פתרון:
1) מצא את אורך AC hypotenuse, זה ניתן לקבל מחטא הקשר (BCA) = AB / AC. מכאן AC = AB / חטא (BCA). AC = 8 / חטא (30) = 8 / 0.5 = 16 ס"מ.
2) מצא את אורך הדובר. הדרך הקלה ביותר למצוא את זה היא לפי משפט פיתגורס: AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0.5, AC = (8 ^ 2 + 16 ^ 2) ^ 0.5 = (64 + 256) ^ 0.5 = (1024) ^ 0.5 = 32 ס"מ
3) מצא את החציונים על ידי הנוסחאות לעיל
A = = 2 (AB ^ 2 + AC ^ 2) -BBC ^ 2) ^ 0.5 / 2 = 2 (8 ^ 2 + 32 ^ 2) -16 ^ 2 ^ ^ 0.5 / 2 = 2 (64 + 1024) - 256 ^ 0.5 / 2 = 21.91 ס"מ.
(2) (2 + 2 + 2 ^ 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (256 + 1024) -64) 0.5 / 2 = 24.97 ס"מ.

שים לב

חציון תמיד מחלק משולש לשני משולשים אחרים שווים באזור.
נקודת החיתוך של כל שלושת החציים נקראת מרכז הכובד.

עצה טובה

לעתים קרובות, את המשמעות של הרגליים ואת hypotenuse היא הקלה ביותר למצוא על ידי נוסחאות טריגונומטריות.

  • מהו החציון של המלבן

עצה 6: איך למצוא את הגובה משולש isosceles

במשולש משקפיים, שני הצדדים שווים, הזוויות בבסיסו שוות. לכן הגבהים הנמשכים לצדדים יהיו שווים זה לזה. גובה נמשך הבסיס של משולש isosceles יהיה באותו זמן חציון bisector של המשולש הזה.

הדרכה

1

תן AE גובה להימשך הבסיס לפנה"ס של משולש isocceles ABC. המשולש AEB יהיה מלבני, שכן AE הוא הגובה. הצד של AB יהיה hypotenuse של המשולש הזה, ו- BE ו- AE יהיו רגליו.
לפי משפט פיתגורס (AB ^ 2) = (BE ^ 2) + (AE ^ 2). לאחר מכן (BE ^ 2) = sqrt ((AB ^ 2) - (AE ^ 2)). מאז AE הוא גם החציון של המשולש ABC, BE = BC / 2. לכן, (BE ^ 2) = sqrt ((AB ^ 2) - ((BC ^ 2) / 4)).
אם זווית צוין בבסיס ABC, אז ממשולש ימין גובה AE הוא AE = AB / חטא (ABC). זווית BAE = BAC / 2, שכן AE הוא bisector של המשולש. לפיכך, AE = AB / cos (BAC / 2).

2

עכשיו תן את גובה BK להימשך AC הצד. גובה זה אינו עוד חציון או bisector של המשולש. יש נוסחה כללית לחישוב אורכו.
תן S להיות השטח של המשולש הזה. AC הצד, שבו גובה מוריד, ניתן לסמן על ידי ב. ואז מן הנוסחה עבור השטח של המשולש יהיה אורך אורך BK: BK = 2S / b.

3

מ נוסחה זו ניתן לראות כי גובה נמשך אל הצד עם (AB) יהיה באותו אורך, מאז b = c = AB = AC.

  • גובה של משולש משקפיים

עצה 7: כיצד למצוא את זווית המשולש, אם שני הצדדים ידועים?

במשולש ימני, אתה יכול פשוט למצוא את הזווית אם שני הצדדים שלה ידועים. אחת הזוויות היא 90 מעלות, והשניים האחרים תמיד חדים. אלה הם פינות ואתה צריך למצוא. כדי למצוא זווית חדה במשולש הימני, יש צורך לדעת את הערכים של כל שלושת הצדדים שלה. תלוי באיזה צד אתה יודע, סינס חד זוויות ניתן למצוא באמצעות נוסחאות עבור פונקציות טריגונומטריות. כדי למצוא את הערך של הזווית של סינוס, ארבע ספרות מתמטיות שולחנות משמשים.

יהיה עליך

  • - משפט פיתגורס;
  • - טריגונומטריה חטא הפונקציה;
  • - ארבע ספרות מתמטיות של בראדיס.

הדרכה

1

השתמש בסימון הבא לנוחות של ביצוע הנוסחאות הנדרשות לחישובים: c הוא hypotenuse של משולש ימין; א, ב - רגליים, המהווים זווית ישרה; A הוא זווית חריפה מול הרגל ב; B הוא זווית חריפה מול הרגל א.

2

חישוב מה אורך הצד הלא ידוע של המשולש. החל את משפט פיתגורס כדי לחשב. חישוב רגל א, אם הערכים של c ו hypotenuse B ידועים. כדי לעשות זאת, להפחית את הריבוע של הרגל ב מ הריבוע של c hypotenuse, ולאחר מכן לחשב את השורש הריבועי של התוצאה.

3

חישוב רגל ב, אם אתה יודע את הערכים של c ו hypotenuse א. כדי לעשות זאת, להפחית מן הכיכר של hypotenuse ג הריבוע של הרגל א, ולאחר מכן לחשב את השורש הריבועי של התוצאה.

4

חישוב הערך של c hypotenuse, אם אתה יודע שתי רגליים. כדי לעשות זאת, לקבל את סכום הריבועים של הרגליים a ו- b, ולאחר מכן לחשב את השורש הריבועי של התוצאה, ואם יש צורך, עגול עד ארבע ספרות אחרי הנקודה.

5

חישוב הסינוס של זווית A באמצעות הנוסחה sinA = a / c. השתמש במחשבון לחישובים. אם יש צורך, סביב סינוס של זווית A עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

6

חישוב הסינוס של זווית B באמצעות הנוסחה sinB = b / c. השתמש במחשבון לחישובים. אם יש צורך, סביב סינוס הערך של זווית B עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

7

מצא את זוויות A ו- B על ידי הערכים של הסינים שלהם. השתמש כדי לקבוע את הערכים של זוויות של טבלה VIII של ארבע ספרות מתמטיות טבלאות של בראדיס. מצא את ערכי הסינוס בטבלה זו. עבור מהערך שנמצא משמאל ומהטור הראשון "A". הזז למעלה מהערך שנמצא, ומהשורה העליונה "A" קח דקות. לדוגמה, אם החטא (A) = 0.8949, אז זווית A הוא 63 מעלות 30 דקות.

  • פתרון משולשים ישרים

עצה 8: כיצד למצוא את החציון של מספר

עבור אומדן כולל של טווח ארוך של ערכים, שיטות עזר שונות וכמויות מוחלים. אחד מהערכים האלה הוא החציון. למרות שניתן לכנותה הערך הממוצע של הסדרה, אך משמעותה ושיטת החישוב שלה שונים משונות אחרות על נושא הערך הממוצע.

הדרכה

1

הדרך הנפוצה ביותר לאמוד את הערך הממוצע בסדרת ערכים הוא הממוצע האריתמטי. כדי לחשב את זה, אתה צריך לחלק את כל הערכים של הסדרה על ידי מספר ערכים אלה. לדוגמה, אם סדרה של 3, 4, 8, 12, 17 ניתנת, אז הממוצע האריתמטי שלה הוא (3 + 4 + 8 + 12 + 17) / 5 = 44/5 = 8.6.

2

ממוצע נוסף שנמצא לעיתים קרובות בבעיות מתמטיות וסטטיסטיות נקרא ממוצע הרמוני. ממוצע הרמוני של המספרים a0, a1, a2.

a n / (a ​​/ a0 + 1 / a1 + 1 / a2.

+ 1 / a). לדוגמה, עבור אותה סדרה כמו בדוגמה הקודמת, הממוצע ההרמוני יהיה 5 / (1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/17) = 5 / (347/408) = 5, 87. ממוצע הרמוני הוא תמיד פחות מממוצע אריתמטי.

3

אמצעים שונים משמשים סוגים שונים של משימות. לדוגמה, אם ידוע כי המכונית נסעה עבור השעה הראשונה במהירות A, ואת השני במהירות B, אז המהירות הממוצעת שלה במהלך המסע יהיה שווה לממוצע אריתמטי בין A ו- B. אבל אם ידוע כי המכונית נסעה קילומטר אחד במהירות A, ואת הבא הוא במהירות ב, אז, כדי לחשב את המהירות הממוצעת במהלך המסע, יהיה צורך לקחת את ממוצע הרמוני בין A ו- B.

4

למטרות סטטיסטיות, הממוצע האריתמטי מייצג אומדן נוח ואובייקטיבי, אך רק במקרים בהם אין ערכים בולטים בין הסדרות . לדוגמה, עבור סדרה של 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200, הממוצע האריתמטי יהיה 24, 5 - בולט יותר מכל חברי הסדרה, למעט האחרון. ברור, הערכה כזו לא יכולה להיחשב מספקת לחלוטין.

5

במקרים כאלה יש לחשב את החציון של הסדרה . זהו ערך ממוצע, שערכו הוא בדיוק באמצע הסדרה, כך שכל חברי הסדרה הממוקמים לפני החציון אינם גדולים ממנה, וכל אלה הנמצאים לאחר מכן אינם פחות. כמובן, בשביל זה אתה הראשון צריך להזמין את חברי הסדרה בסדר עולה.

6

אם בשורה a0.

מספר ערכים מוזר, כלומר, n = 2k + 1, אזי חבר הסדרה עם מספר הרצף k 1 נלקח כחציון, אם מספר הערכים הוא אפילו, כלומר, n = 2, אז הממוצע האריתמטי של חברי הסדרה עם המספרים k ו- k + 1.
לדוגמה, בשורה נחשבת כבר של 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 עשרה חברים. כתוצאה מכך, החציון שלו הוא הממוצע האריתמטי בין המספרים החמישית והשישית, כלומר (5 + 6) / 2 = 5.5. הערכה זו משקפת את הערך הממוצע של חבר אופייני בסדרה הרבה יותר טוב.

  • משימות על נתונים סטטיסטיים עם פתרונות: אופנה וחציון

עצה 9: איך למצוא את חציון אורך משולש

החציון של המשולש הוא קטע הנמשך מכל קודקודו אל הצד הנגדי, והוא מחלק אותו לחלקים שווים. המספר המרבי של חציון במשולש הוא שלושה, על פי מספר הקודקודים והצדדים.

הדרכה

1

משימה 1.
ב משולש שרירותי עבד חציון BE נמשך. מצא את אורכו, אם ידוע כי הצדדים, בהתאמה, שווים ל- AB 10 ס"מ, BD = 5 ס"מ ו- AD = 8 ס"מ.

2

ההחלטה.
החל את הנוסחה החציונית עם הביטוי בכל הצדדים של המשולש. זוהי משימה פשוטה, שכן כל אורכי הצדדים ידועים:
(200) (200 BE BE (((= = = = (((((((6.8) ).

3

משימה 2.
ב משולש isosceles עבד, הצדדים AD ו- BD שווים. החציון מקודקוד ה- D לצד BA נמשך, והוא עושה זווית עם BA שווה ל -90 מעלות. מצא את אורך החציון DH, אם ידוע כי BA = 10 ס"מ, ואת זווית DBA הוא 60 מעלות.

4

ההחלטה.
כדי למצוא את החציון, קבע צד אחד ושווה של המשולש AD או BD. כדי לעשות זאת, לשקול אחד המשולשים הנכונים, נניח BDH. מן ההגדרה של חציון זה נובע כי BH = BA / 2 = 10/2 = 5.
מצא את הצד של BD על ידי הנוסחה הטריגונומטית מהרכוש של המשולש הימני - BD = BH / sin (= D) = 5 / sin60 ° = 5 / (√3 / 2) ≈ 5.8.

5

עכשיו יש שתי דרכים אפשריות למצוא את החציון: על פי הנוסחה המשמשת את הבעיה הראשונה או משפט פיתגורס עבור המשולש הנכון BDH: DH ^ 2 = BD ^ 2 - BH ^ 2.
DH = 2 = (5.8) ^ 2 - 25 ≈ 8.6 (cm).

6

משימה 3.
שלושה חציונים נמשכו במשולש BDA שרירותי. מצא את אורכי שלהם אם ידוע כי גובה DK הוא 4 ס"מ ומחלק את הבסיס למקטעים של אורך BK = 3 ו - KA = 6.

7

ההחלטה.
אורכי כל הצדדים נדרשים למצוא את החציונים. אורך BA ניתן למצוא את המצב: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
שקול את המשולש הנכון BDK. על פי משפט פיתגורס, למצוא את אורך BD hypotenuse:
BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2; BD = √ (9 + 16) = √25 = 5.

8

באופן דומה, למצוא את hypotenuse של משולש ימין KDA:
AD = 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2; AD = √ (16 + 36) = √52 ≈ 7.2.

9

על פי הנוסחה ביטוי דרך הצדדים, למצוא את החציונים:
BE = 2 = 2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51.8) / 4 ≈ 40, ומכאן ≈ 6.3 (ס"מ).
DH = 2 = 2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103.7 - 81) / 4 ≈ 18.2, ומכאן DH ≈ 4.3 (ס"מ).
AF = 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103.7 + 162 - 25) / 4 ≈ 60, ומכאן AF ≈ 7.8 (ס"מ).

עצה 10: כיצד לחשב את החציון במשולש

חציון הוא הגדרה גיאומטרית המשויכת למושג המשולש. זהו קטע המחבר את הקודקוד של משולש שרירותי עם באמצע של הצד הנגדי. מצא או לחשב את אורך החציון אפשרי, לדעת את אורכי הצדדים של משולש שרירותי. שקול את הפתרון של הבעיה על ידי דוגמה.

יהיה עליך

  • נוסחה גיאומטרית לחישוב אורך החציון של משולש שרירותי ABC:
  • m = √ (2) (b2 + c2) - a2) / 2,
  • כאשר m הוא אורך החציון O,
  • הוא אורך של צד של שמש של משולש שרירותי (חציון נמשך בצד זה),
  • b הוא אורך של א"ב של המשולש,
  • c הוא אורך הצדדים של רמקולי AC של המשולש.

הדרכה

1

מדוד באמצעות הסרגל את אורכי הצדדים AB, AC ו- BC של המשולש הזה. אורכי הצדדים יכולים להינתן במונחים של בעיה גיאומטרית. תנו 7 ס"מ = הוא אורך הצד של המטוס (הצד שאליו נמשכת החציון O), b = 5 ס"מ הוא אורך הצד AB ו- c = 6 ס"מ הוא אורך הצד AC. אז, על פי תנאי הבעיה, = 7 ס"מ, b = 5 ס"מ, c = 6 ס"מ.

2

חישוב אורך החציון של משולש ABC באמצעות הנוסחה שצוינה. תחליף את אורכי הצדדים של המשולש ABC בנוסחה ולבצע את החישובים הבאים.
הרם את אורכי כל הצדדים של המשולש ABC בכיכר:
- 5 × 5 = 25 ס"מ (ריבוע אורך B של צד AB), 6 × 6 = 36 ס"מ (ריבוע אורך של צד AC), 7 × 7 = 49 ס"מ (ריבוע אורך של צד של מטוס).
הוסף את הסכומים המתקבלים של ריבועים באורך של הצדדים AB ו- AC של המשולש ABC (b2 + c2):
- 25 + 36 = 61.
הכפל את הסכום המתקבל של הריבועים של הצדדים ב ו- c במספר 2 (b2 + c2) x2):
- 61 × 2 = 122.

3

הפחת מן המוצר שהתקבל הריבוע של אורך a של הצד לפנה"ס של המשולש ABC ((b2 + c2) x2) -A2):
- 122-49 = 73.
קח את שורש הריבוע של התוצאה. מחלקים את המספר המתקבל ב -2 (√ (2) (b2 + c2) - a2) / 2):
√73 / 2 = 4.27 ס"מ הוא אורך m הרצוי של חציון O של המשולש ABC. אז, באמצעות הנוסחה הגיאומטרית שצוין לדעת את אורכי הצדדים של המשולש ABC, חישבת את אורך החציון שלה.

שים לב

החציון של המשולש מחלק אותו לשני חלקים שווים. מבין שני החציונים של המשולש, גדול יותר החציון נמשך הצד הקטן של המשולש.
ישנם שלושה חציונים במשולש. הם תמיד מצטלבים בנקודה אחת בתוך המשולש. נקודה זו נקראת מרכז הכובד של המשולש (או centroid).
המשולש מחולק על ידי שלושה חציונים לתוך שישה משולשים בגודל שווה. ב משולש isosceles, החציון, אשר לבסיס שלה, הוא בעת ובעונה אחת bisector וגובה.

  • נוסחאות מקוונות

עצה 11: כיצד למצוא את הגובה ואת החציון במשולש

משולש הוא אחד הדמויות הקלאסיות הפשוטות ביותר במתמטיקה, מקרה מסוים של מצולע עם מספר הצדדים ואת הקודקודים שווה לשלושה. לפיכך, הגבהים והחציונים של המשולש הם גם שלושה, ואתה יכול למצוא אותם על ידי נוסחאות ידועות, בהתבסס על הנתונים הראשונים של משימה מסוימת.

הדרכה

1

גובה המשולש נקרא קטע אנכי, הנמשך מכל קודקוד אל הצד הנגדי שלו (בסיס). החציון של המשולש הוא קטע המחבר אחד הקודקודים עם באמצע של הצד הנגדי. הגובה והחציון של אותו קודקוד עשויים לחפוף אם המשולש הוא משקפיים, והקודקוד מחבר את צדדיו השווים.

2

משימה 1 מצא את גובה BH ואת חציון BM של משולש שרירותי ABC, אם ידוע כי קטע BH מחלק את הבסיס AC לקטעים עם אורכים של 4 ו 5 ס"מ, ואת הזווית ACB הוא 30 מעלות.

3

פתרון הנוסחה החציונית במשולש שרירותי היא ביטוי לאורך שלה דרך אורכי הדמות. מן הנתונים הראשוניים, אתה יודע רק צד אחד AC, אשר שווה את הסכום של המקטעים AH ו- HC, כלומר. 4 + 5 = 9. לכן, מומלץ קודם למצוא את הגובה, ולאחר מכן דרך זה מבטאים את אורכים חסרים של הצדדים א.ב., ולאחר מכן לחשב את החציון .

4

שקול את המשולש BHC - הוא מלבני, על פי ההגדרה של גובה. אתה יודע את זווית ואורך של צד אחד, זה מספיק כדי למצוא את הצד של BH באמצעות הנוסחה trigonometric, כלומר: BH = HC • tg BCH = 5 / √3 ≈ 2.89.

5

יש לך את הגובה של המשולש ABC. שימוש באותו עיקרון, לקבוע את אורך הצד לפני הספירה: BC = HC / cos BCH = 10 / √3 = 5.77 ניתן לבדוק תוצאה זו באמצעות משפט פיתגורס, לפיו הריבוע hypotenuse שווה לסכום הריבועים של הרגליים: AC² = AB² + BC² → BC = √ (25/3 + 25) = 10 / √3.

6

מצא את הצד השלישי הנותר של AB על ידי מסתכל על המשולש הנכון ABH. לפי משפט Pythagorean, AB = √ (25/3 + 16) = √ (73/3) ≈ 4.93.

7

כתוב את הנוסחה לקביעת חציון המשולש: BM = 1/2 • √ (2) (AB² + BC²) - AC²) = 1/2 • √ (2 • (24.3 + 33.29) - 81) ≈ 2.92 הבעיה של הבעיה: גובה המשולש BH = 2.89; חציון BM = 2.92.

עצה 12: כיצד למצוא את אורך הגובה במשולש משקפיים

שלושה קטעים של קווים נקראים גבהים במשולש, שכל אחד מהם מאונך לאחד הצדדים ומחבר אותו לקודקוד הנגדי. לפחות שני צדדים ושתי זוויות במשולש משקפיים יש את אותו גודל, ולכן אורכי שני גבהים חייבים להיות שווים. מצב זה מאוד מפשט את החישוב של אורכי הגבהים של הדמות.

הדרכה

1

גובה (Hc) נמשך אל בסיס משולש isosceles ניתן לחשב לדעת את אורכי הבסיס הזה (ג) ואת הצד (א). כדי לעשות זאת, אתה יכול להשתמש משפט Pythagorean, שכן גובה, בצד וחצי של הבסיס בצורת משולש ימין. גובה ומחצית הבסיס בו הם הרגליים, כדי לפתור את הבעיה, לחלץ את השורש מההבדל בין אורך הריבוע של הצד לבין רבע מאורך הבסיס של הבסיס: Hc = √ (a² - * c²).

2

גובה זהה (Hc) יכול גם להיות מחושב לאורך כל אחד הצדדים אם לפחות זווית אחת ניתנת בתנאים. אם זוהי הזווית בבסיס המשולש (α) והאורך הידוע קובע את הערך של הצד (א), כדי לקבל את התוצאה, הכפל את אורך הצד הידוע ואת הסינוס של הזווית הידועה: Hc = a * sin (α). נוסחה זו באה בעקבות משפט הסינוס.

3

אם אורך הבסיס (s) והזווית (α) הסמוכים לו ידועים, כדי לחשב את הגובה (Hc), להכפיל את מחצית אורך הבסיס על ידי הסינוס של הזווית הידועה ולחלק על ידי סינוס את ההפרש בין 90 ° לבין אותה זווית: Hc = ½ * c * חטא (α) / חטא (90 ° - α).

4

עם הממדים הידועים של הבסיס (ים) והזווית ההפוכה (γ) כדי לחשב את הגובה (Hc), להכפיל חצי אורך של הצד הידוע על ידי הסינוס של ההפרש בין 90 מעלות לחצי של הזווית הידועה, ולחלק את התוצאה על ידי הסינוס של חצי זווית זהה: Hc = ½ * c * חטא (90 ° -γ / 2) / חטא (γ / 2). נוסחה זו, כמו שני הקודמים, עוקבת אחר משפט סינוס סינוס בשילוב עם משפט על מספר זוויות במשולש .

5

ניתן למדוד את אורך הגובה המשורטט לאחד הצדדים (Ha), למשל, לדעת את אורך הצד הזה (א) ואת השטח של משולש משקפיים (S). כדי לעשות זאת, מצא את היחס הכפול בין השטח לבין אורך הצד הידוע: Ha = 2 * S / a.

עצה 13: כיצד לחשב את הצד של משולש isosceles

A isosceles או isosceles נקרא משולש, שבו אורכים של שני הצדדים זהים. אם אתה צריך לחשב את אורך אחד הצדדים של דמות כזו, אתה יכול להשתמש בידע של זוויות על הקודקודים שלה בשילוב עם אורך אחד הצדדים או רדיוס circumcircle. פרמטרים אלה של מצולע מקושרים על ידי סינוס, קוסינוס וכמה משפטי יחסים קבועים אחרים.

הדרכה

1

כדי לחשב את אורך הצד של משולש משקפיים (b) תוך שימוש באורך הבסיס (א) הידוע מהתנאים והזווית (α) הצמודה לו, השתמש במשפט הקוסינוס. מכאן נובע כי אתה צריך לחלק את אורך הצד ידוע על ידי הקוסינוס כפול של זווית נתון בתנאים: b = a / (2 * cos (α)).

2

החלת אותו משפט על הפעולה ההופכית - חישוב אורך הבסיס (א) מאורך הצד הידוע (b) והזווית (α) בין שני הצדדים. במקרה זה, המשפט מאפשר לנו להשיג שוויון, הצד הימני של אשר מכיל פעמיים את המוצר של אורך של הצד הידוע ואת הקוסינוס של הזווית: a = 2 * b * cos (α).

3

אם, בנוסף לאורכים של הצדדים (b), זווית ביניהם (β) נתון בתנאים, כדי לחשב את אורך הבסיס (א), להשתמש במשפט סינוס. מכאן הנוסחה, לפיה אורך הצד הכפול צריך להכפיל את הסינוס של מחצית הזווית הידועה: a = 2 * b * חטא (β / 2).

4

משפט הסינוס יכול לשמש גם כדי למצוא את אורך הצד (ב) של משולש משקפיים, אם אורך הבסיס (א) ואת הערך של הזווית ההפוכה (β) ידועים. במקרה זה, מכפילים את הסינוס של מחצית הזווית הידועה ומחלקים לפי הערך המתקבל את אורך הבסיס: b = a / (2 * sin (β / 2)).

5

אם מעגל מתואר סביב משולש משקפיים, רדיוס אשר (R) ידוע, כדי לחשב את אורכי הצדדים, אתה צריך לדעת את הזווית באחד הקודקודים של הדמות. אם התנאים מספקים מידע על זווית בין הצדדים (β), לחשב את אורך הבסיס (א) של המצולע על ידי הכפלה של המוצר של הרדיוס ואת הסינוס של זווית זו: A = 2 * R * חטא (β). אם הזווית ניתנת בבסיס (α), כדי למצוא את אורך הצד (b), פשוט להחליף את הזווית בנוסחה זו: b = 2 * R * חטא (α).