מהו רצף פיבונאצ'י? למה זה כל כך מיוחד?

Please Don't Touch Anything (יולי 2019).

Anonim

מתמטיקה היא לימוד דפוסי. בעוד כל דפוסי נוטים להתאים את הכללים המחמירים של ההיגיון, רק כמה מהם לטפח יצירתיות. זה אבסורד לי איך משוואה אחת, אינץ 'אחד יכול לרגע להחזיק את היד שלך ולהוביל אותך לצייר את הדמויות הנפלאות ביותר. זה מדהים איך אלה דמויות מורכבות ניתן לצמצם לשלושה סמלים שני קווים מקבילים. אני משתמש במונח הזה, משום שברגע זה אנו עושות באופן עיוור את מה שהמשוואה מצויה, ומבטיחות על הנבואה, אנו מתחילים לסמן נקודות, שבתחילה הן נראות בלתי ניתנות לחיבור.

עם זאת, אנו ממשיכים להסכים. הכלים נקשטים והשליט המגעיל מסרב להרים עד שהרושם על הנייר הוא למעשה אוסף של נקודות אינסופיות; נקודות שחורות שנותרו בעיפרון ובנקודות לבנות שנקרעו על ידי המצפן. הנקודות האינסופיות פותחות את עצמן במהירות ומתאימות בצייתנות בדיוק כפי שההיגיון מחייב אותן. בעוד תענוגות מינימליסטי במעגל, את הפשטה מתענג ב polyhedron.

אז יש דפוסים מספריים, רצף של מספרים שחוזרים מעת לעת. בני האדם הם יצורים המבקשים דפוסים מטבעם. למעשה, אנו כה מיומנים בחיבור הנקודות שדפוסים אלה אינם בלעדיים לנקודות, אלא גם מורחבות להקשרים. המראה של תבנית או דמות עם סגן או סגולה מקשר את המופע של השניים. הם היו הכוח המניע מאחורי כתות במספר עצום של חברות.

סמל האילומינטי וואו! (צילום: Quintendp099 & NAAPO / ויקיפדיה)

יש אלמנט של חסד שאנשים קשרו זה מכבר עם דמויות וקבוצות מסוימות, כגון האילומינטי . מצד שני, מדענים ומתמטיקאים מעדיפים לקשר צורה של מסתורין אינטלקטואלי לדפוסים כאלה. קח את וואו! האות, דפוס של אלפבית קיבל באופן בלתי צפוי בין מספרים על ידי טלסקופ הרדיו הגדול של אוהיו, ורמז על פעילות מחוץ לכדור הארץ.

עם זאת, קיים גם דפוס של מספרים המסיתים לא רק מסתורין, אלא קדושה, שכן הוא מתגלה במקומות שאף אחד לא היה מצפה. חשבו על תבנית זו - 13-3-2-21-1-1-8-5 - שצייר אוצר המוזיאון הנרצח ז'אק סונייר כרמז לטום הנקס בקוד דה וינצ'י .

מספרי פיבונאצ'י

לאונרדו פיזאנו, הידוע בכינויו פיבונאצ'י. (צילום: ד"ר מנואל בגרמנית Wikipedia / Wikimedia)

פיבונאצ'י הוקסם מאוד מהמתמטיקה ההינדית-ערבית. האירופים באותה עת המשיכו להשתמש במערך המספרים הרומי, בעוד ההינדים והערבים נהנו ממעלות מערכת המספרים הינדית-ערבית - בסיס 10 - בין 0 ל -9 לדורות. הוא החליט להביא את הרעיונות האלה לאירופה על ידי פרסום אותם בעבודתו הנערצת ליבר ליבר.

הספר הפך לאגדה. עם זאת, הפופולריות שלה הופחת בסופו של דבר רק שתי תרומות: ראשית, מספר מערכת, שבלעדיו את ההתקדמות של המתמטיקה המודרנית לא היה אפשרי; ושנית, בעיה היפותטית, לא מציאותית לגבי גידול ארנבות. את מספרי Fibonacci הראשון בהשתתפות כמו פתרון לבעיה זו.

המספרים המסתוריים של פיבונאצ'י

ניתן לחלק את הרצף עם מספר כלשהו כדי להשיג דפוס מחזורי כזה. לדוגמה, כאשר המספרים מחולקים ב -7, מופיעה תקופה של 16 מספרים. באופן דומה, אורך התקופה הוא 20 כאשר המחלק הוא 5. איבן מחולק על ידי 1/3 תוצאות בקלטת ארוכה של קטעי זהים חוזרים. עם זאת, מתמטיקאים לא גילו נוסחה כללית אשר חוזה את אורך תקופה אחת כאשר רצף מחולק במספר מסוים.

עוד מבוכה משתוללת היא המשולשים האינסופיים הימניים הנסתרים ברצף. החל מ 5, כל מספר שני ברצף הוא hypotenuse של משולש זווית ישרה אשר הצד הארוך הוא סכום של כל הצדדים של המשולש הקודם ואת הצד הקצר הוא ההבדל בין המספר דילג על הצד הקצר של הקודם משולש. הסבר ציורי יעזור להבנה טובה יותר של המשולשים האלה.

מה זה כישוף?

התועלת של מתמטיקה מופשטת היתה הטיעון העיקרי בדיון בשאלה אם מתמטיקה הומצאה או התגלתה. ישנן תיאוריות המדגימות את הסוג הגבוה ביותר של גאון וקשב מתמטי, אך מבודדים לחלוטין מן העולם האמיתי. לדוגמה, ניוטון המציא חצץ במיוחד כדי לקבוע את המשוואה של מסלול כי כדור הארץ היה בעקבות סביב השמש. כמובן, חצץ התברר להיות רווחי במספר עצום של תחומים אחרים מדי, אבל אנחנו יכולים לומר את אותו הדבר על ההיפותזה של רימן ?

עם זאת, ישנם מקרים נדירים שבהם מתמטיקה מופשטת מאוד אזוטרי הופך להיות ישים. לדוגמה, רימן פיתח את המושגים האבסורדיים של הגיאומטריה המעוקלת בשנות החמישים של המאה התשע-עשרה, שנראו בלתי אפשריים עד שאיינשטיין השתמש בהם כדי לגלות מחדש את חוקי הכבידה בתורת היחסות הכללית שלו. חוסר היציבות של נישואין מתמטיים אלה עדיין מטריד אותנו.

זה המקרה עם אופי מיסטי של מספרים פיבונאצ'י מדי. למרות שהתגלו בימי הביניים, הם התגלו מחדש וכולם, למבוכתם של כולם, במקומות שמעולם לא ציפינו להם. הקסם שלנו עם מספרי פיבונאצ'י משתרע במידה כזו שמגזין שלם מוקדש למוזרויותיו, הנקראות " רבעון פיבונאצ'י".

שקול את המשולש של פסקל. כאשר פסקל התייעץ על ידי מהמר על הסיכויים לתוצאות של קובייה ועל אופי ההימור, הוא המציא את התיאוריה של הסתברות כדי לפתור את הבעיות הללו. המשולש של פסקל הוא משולש מסודר שנוצר על ידי מקדמי בינומי. המשולש פועל כשולחן שאחד מתייחס אליו תוך הרחבת המשוואה הבינומית.

המשולש של פסקל. (צילום: RDBury / ויקיפדיה)

עם זאת, אם היית לצייר diagonals לנוע במורד המשולש ולסכם את המספרים המתגוררים על כל אלכסוני, אז סדרה של מספרים השווה עם כל אלכסוני לייצג, כפי שאתה יכול לנחש, את מספרי פיבונאצ'י. התיאוריה של ההסתברות נוסדה 400 שנה לאחר שפורסם ליבר Abaci .

או, שקול להגדיר מנדלברוט, פונקציה מתמטית זה יכול להיות משוחרר על ידי דיאגרמה יפה מצוירת במישור המורכב. נראה שהתרשים הוא עלה בצורת לב עם ניצנים זעירים על הקצוות. ניצנים אלה מלאים קוצים דקים להפליא. התרשים מייצג פרקטל, מבנה שכל חלק יחיד שלו מורכב מעצמו. כלומר, אם היית לשמור על התקרבות על זה, תגלה כי המבנה חוזר לולאה אינסופית.

מנדלברוט הציב דיאגרמות. (צילום: וולפגנג Beyer עם תוכנית Ultra Fractal 3. / Wikimedia)

ככל שאנו מתקרבים לתוך ניצנים על הקצוות, אנו רואים כי הניצן גדל לתוך העלה המקורי שלושה ניצנים חדשים מופיעים על הקצוות שלה. אם אחד היה לשמור על התקרבות, הוא היה עד תהלוכה להמשיך עוד ועוד. עם זאת, כאשר אנו מציצים עמוק יותר, אנו רואים כי מספר קוצים על כל ניצן חדש עולה. התוספת במספרים מחקה דפוס מסוים; זה רצף פיבונאצ'י! מי יכול היה לחזות את זה?

הרצף מופיע גם בכלכלה וגם באיתור אילן היוחסין של דבורים גבריות. זה נעשה שימוש נרחב במדעי המחשב, שם הוא משמש כדי לייצר מספרים אקראיים לתפיסה על ידי אלגוריתמים בשם Pseudorandom מספר גנרטורים. אני משתמש באופן תפיסתי משום שהמספרים שנוצרו אינם אקראיים באמת ; הם תמיד תלויים בקלט קודם.

הוא משמש גם למיון אלגוריתמים שבהם חלוקת השטח לממדים שהם שני מספרי פיבונאצ'י רצופים, ולא שני חלקים שווים. זה הופך את הציד של מיקום לפעולות מתמטיות הפשוט ביותר - חיבור וחיסור. והואיל, מיון בינארי (חלוקה לשני חלקים שווים) מחייב שימוש בכפל, חלוקה ושינוי סיביות. רצף משמש גם כדי לגזור הזהויות מתמטיות חשובות אחרות. עם זאת, היישום החשוב ביותר שלה נמצא בגנים שלנו.

ספירלת פיבונאצ'י

הפרתנון. (צילום: Flickr)

היוונים אכן גילו בסופו של דבר את המהות הזאת. לדבריהם, הדרך היפה ביותר לחלק קו לשני חלקים היא לחלק אותם ביחס כזה, כי חלק ארוך מחולק החלק הקצר שווה לכל מחולק על ידי חלק יותר. הם קראו לזה יחס הזהב, וערכו הוא 1.618

.

כתוצאה מכך, הם ביססו את האמנות והארכיטקטורה שלהם על יחס זה. דוגמה לכך היא הארכיטקטורה של הפרתנון, שדופנותיו נמצאות ביחס הזהב. אפילו אמני הרנסנס היו קרובים אחד עם השני ביחס לשימוש זה. שפע של יצירותיהם מסתמך על היחס כדי להגביר את הערעור האסתטי שלה.

מה זה יחס יקר צריך לעשות עם מספרי פיבונאצ'י? קפלר פעם הבחין כי "כמו 5 הוא 8 כך 8 עד 13, כמעט, וכמו 8 הוא 13, כך הוא 13 עד 21 כמעט." היחס בין שני מספרי פיבונאצ'י רצופים שווה בערך ל * איטי מוחלטת claps * יחס הזהב! זה מקשר מספרי פיבונאצ'י לאחד הספירלות המוכרות ביותר באינטרנט.

ניתן לרשום את הריבועים של מספרי פיבונאצ'י כך:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

שום דבר מסתורי? בואו נוסיף חבורה של אותם יחד:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

תסתכל קרוב יותר ותבחין כי 6 הוא תוצר של 2 ו 3, 15 מוצר של 3 ו 5, ו 40 מוצר של 5 ו - 8. הקשר הזוגי בין מספרי פיבונאצ'י יחס הזהב הופך בולט - שני מספרים המהווים מוצרים אלה הם מספרי פיבונאצ'י רצופים! עכשיו, בואו לבצע את הסיכום לעיל pictorially. כל מספר בריבוע יכול להיות מיוצג על ידי ריבוע אשר הצד מודד להיות מספר זהה של יחידות כי הוא בריבוע.

לכן, הריבוע של אחד מיוצג על ידי ריבוע של צד אחד יחידה. הריבוע הזה נוסף לריבוע הבא ברצף - ריבוע נוסף של יחידה אחת בצד. הבא, את המלבן 1 × 2 נוסף ריבוע של צד שתי יחידות, אשר לאחר מכן הוסיף נוסף ריבוע של צד שלוש יחידות וכן הלאה. אנו מבינים כי המוצרים היו למעשה את האזורים של מלבנים אלה המתעוררים.

בגלל המוצרים היו מספרים פיבונאצ'י רצופים, ניתן להבחין כי היחס בין שני הצדדים של כל מלבן בודד הוא יחס הזהב! כאשר מספר הסכומים מתקרבים לאינסוף, היחס בין הצדדים של המלבן ההולך וגדל מתקרב לערך המדויק של היחס. עיקול שמקורו מן המרכז ועובר דרך פינותיו של כל ריבוע הולך וגדל לתוך הספירלה - הספירלה המוזהבת, החורגת בהתמדה בזווית הנקראת זווית הזהב.

ספירלה הזהב בקליפה נאוטילוס (נוטילוס Cutaway Logarithmic ספירלה) וחרוט אורן. (צילום: כריס 73 / ויקיפדיה ו Pixabay)

הספירלה המוזהבת יכולה להימצא במספר עצום של מקומות בטבע, מצורת הגלקסיה שלנו לקליפת נאוטילוס. הוא מסדיר את הסדר של חרוטי האורן ואת פירות של אננס. האהוב עלי הוא ההתרחשות שלה בהסדר של זרעים עמוס במרכז חמניות. עם זאת, באמצעות המונח "העומס" יהיה ללא בושה המשקיף על גודל הקפדה כי הטבע בילה תוך ארגון זרעים אלה.

זרעי חמניות מפליגים בזווית הזהב. (צילום: רמי ג'ואן / ויקיפדיה)

הזרעים אינם מיושרים כמו חישורים של גלגל; הם לאט לאט לסטות החוצה. זווית הסטייה היא זווית הזהב. נראה כי הטבע בחר מרצון עבור יחס זה משום חלוקת המעגל על ​​ידי מספר לא רציונלי גרם זרע יש שכן באותה זווית מהמרכז. זה הביא אריזה יעיל מאוד, משאיר כמעט מקום מקום שלילי. מספר הספירלות, אתה שואל? 55 בכיוון אחד, 89 בשני. שני מספרי פיבונאצ'י, כמובן!